플로이드 워셜 알고리즘 - 그래프 모든 정점에서의 최단경로

상태: 정리완료
태그: dp, graph

가중 그래프의 모든 꼭짓점 쌍에 대한 최단경로의 길이를 구해낼 수 있다. 경유 가능한 지점을 하나씩 추가해 가면서 최소값만을 dp에 갱신하는 것으로 구현이 가능하다.

graph LR
	i --> k
  k --> j
  i --> j

k = 0일 때

graph LR
  i --"D(i,j,0)"--> j

D(i,j,0) = W[i][j]

k = 1일 때

graph LR
	i --"D(i,1,0)"--> 1
	1 --"D(1,j,0)"--> j
	i --"D(i,j,0)"--> j

D(i,j,1) = min(D(i,j,0), 
		(D(i, 1, 0) + D(1, j, 0))

k = 2일 때

graph LR
	i -- "D(i,2,0)" --> 2
	2 --"D(2,j,0)"--> j
	i --"D(i,j,1)"--> j

D(i,j,2) = min(D(i,j,1), 
		(D(i, 2, 0) + D(2, j, 0))

일반화 (k = m일때)

i에서 m을 경유하여 j로 가는 길이 versus 기존에 i,j 와의 최단경로를 비교하여 작은 것을 D(i, j, m) 에 갱신한다.
```
graph LR
	i -- "D(i,m,0)" --> m
	m --"D(m,j,0)"--> j
	i --"D(i,j,m-1)"--> j
```
```
D(i,j,m) = min(D(i, j, m - 1), 
		(D(i, m, 0) + D(m, j, 0))
```

pseudo code

플로이드-워셜 알고리즘 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전

let dist be a |V| × |V| array of minimum distances initialized to ∞ (infinity)
for each edge (u,v)
   dist[u][v] ← w(u,v)  // 변 (u,v)의 가중치
for each vertex v
   dist[v][v] ← 0
for k from 1 to |V|
   for i from 1 to |V|
      for j from 1 to |V|
         if dist[i][j] > dist[i][k] + dist[k][j]
            dist[i][j] ← dist[i][k] + dist[k][j]
        end if

시간복잡도

$O (N^{3})$ 각 쌍을 탐색하는 데 $O (N^{2})$ , k가 1~n-1까지 변하므로 $O (N)$

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